GPD: Newton, Dominion y Combinatoria

¿Qué tiene que ver Isaac Newton, considerado por muchos el científico más importante de la historia de la humanidad, con el juego de mesa Dominion?

Pues que al genio inglés se le atribuye el teorema del binomio ( bueno, ahora se considera que el primero que lo descubrió fue Al-Karaŷí ) y en este aparece el coeficiente binomial que es un número que indica la cantidad de formas diferentes de coger ( sin tener en cuenta el orden ) elementos de un conjunto dado.
Así, en esta entrada explicaré de forma divulgativa qué es el coeficiente binomial y su uso para obtener la cantidad de combinaciones posibles de las cartas de acción del Dominion, ya sea con las cartas del básico, así como las de las expansiones y ver si en verdad son tan diferentes las partidas o no.

Antes de definir exactamente qué es, hay que introducir un par de conceptos previos que utilizaré más adelante:

• Conjunto: en matemáticas un conjunto es una colección de elementos.
• Elemento: es un objeto que forma parte de un conjunto ( sí, las definiciones son recíprocas ).
• Factorial: es una operación matemática cuyo símbolo es el signo de exclamación ( ! ) y cuya operación es la siguiente:                                                                                                            

                                  \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot  \ldots \cdot ( n - 1 ) \cdot n \)

Siendo n un número entero positivo. Ejemplo: \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)

Con esto ya puedo definir la expresión del coeficiente binomial que es:

Coeficiente binomial

Los dos primeros términos son dos formas distintas de nomenclatura de la expresión y el término final es la forma de obtener el número a partir de n y k, que tienen que ser valores conocidos.

• La variable n hace referencia a la cantidad de elementos que tiene el conjunto estudiado.
• Mientras que la variable k es la cantidad de elementos escogidos del conjunto.
• Ambas variables son números naturales, siendo n siempre mayor o igual que k.

Y el resultado tras efectuar la operación de la expresión final es la cantidad de formas distintas de coger k elementos de un conjunto formado por n elementos ( sin tener en cuenta el orden en que se haga ), es decir, el resultado es el coeficiente binomial.

¿Y todo esto para qué sirve? Pues, en el caso concreto que nos ocupa que es averiguar la cantidad de combinaciones posibles que hay con las 25 cartas de acción del Dominion básico cogiendo en cada partida únicamente 10 distintas, aplicando directamente el coeficiente binomial obtenemos el número de combinaciones diferentes ( que en este caso vendrian a ser partidas diferentes, almenos en cuanto a setup se refiere ).

En detalle:

• El conjunto es el total de cartas diferentes que hay y los elementos de este conjunto serian las cartas de Acción ( Aldea, Bruja, Foso, etc ).
• n = 25, ya que el número total de cartas diferentes del Dominion básico es este.
• k = 10, porque sólo cogemos 10 cartas en cada partida.

Por tanto en este caso tenemos que el coeficiente binomial es:  3.268.760

Las combinaciones son inmensas como podéis observar, de aquí que muchos aficionados digan que el Dominion básico da para muchas partidas distintas, en parte esto es cierto por esto mismo, pero a la hora de la verdad, el hecho de que haya tantas combinaciones diferentes no afecta a ciertas estrategias que ya están muy definidas y no se ven afectadas por el cambio de un par de cartas, además en Dominion hay algunas cartas que se suelen utilizar muy poco ( Canciller, por ejemplo ) o que dependiendo del setup que haya, no se escogerán, haciendo las partidas menos variadas de lo que cabria esperar. Aún así, el Dominion básico aguanta unas cuantas partidas antes de "quemarlo", en mi caso yo he tardado unas 40 partidas físicas ( unas cuantas más online ). Por suerte, el juego tiene un montón de expansiones que realmente le aportan aire fresco. Si te gusta el Dominion son imprescindibles, para ver nuevas mecánicas, estrategias, combos, sinergias, cartas que se estorban entre si... Pero sobretodo, las nuevas cartas hacen las partidas distintas añadiendo un número astronómico de combinaciones extra, veamos algunos ejemplos ( utilizo la nomenclatura matemática de la igualdad anterior, fijaos que sólo cambia la variable n ya que la k es fija, porque en cada partida siempre se escogen sólo 10 cartas ):

• Dominion básico + Alquimia ( añade 12 cartas ): C ( 37, 10 ) = 348.330.136
• Dominion básico + Intriga ( añade 25 cartas ): C ( 50, 10 ) = 10.272.278.170
• Dominion básico + Terramar ( añade 26 cartas ): C ( 51, 10 ) = 12.777.711.870
• Dominion básico + Terramar + Intriga: C ( 76, 10 ) = ¡mi calculadora científica me da error! 

Estas cifras marean un poco... ¿no?